Prawdopobieństwo zdarzenia obliczamy z następującego wzoru:
Z powyższego wzoru wynika, że prawdopodobieństwo jest pewnym ilorazem. Należy pamiętać, że jest to iloraz dwóch zmiennych:
* liczby zdarzeń, które spełniają warunki naszego zadania (np: liczby podzielne przez 6)
* liczby zdarzeń spośród których szukamy tych spełniających warunki zdania (np. wszytskie liczby dwucyfrowe)
Nie należy się przestraszyć, trzeba tylko trochę pomyśleć i pamiętać, czego szukamy ;)
W metodzie drzewek nie będziemy korzystać ze wzoru. Korzystamy z niej, jeśli mamy do czynienia z doświadczeniem losowym wieloetapowym lub jednorazowym zlosowaniem większej ilości elementów
Na szczycie drzewka umieszczamy ilość naszych zdarzeń. Na przykład wyobraźmy sobie urnę, w której mamy 10 kul: 3 czarne, 5 zielonych i 2 białe. Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy choć jedną kulę białą.Zrobimy to w dwóch przypadkach:
* gdy kule zwracamy z powrotem do urny
* gdy kuli nie zwracamy.
ZWRACANIE KULI:
Na szczycie drzewka umieszczamy nasze dane: 2 kule białe, 6 zielonych i 3 kule czarne - razem 10 kul, a następnie rysujemy gałęzie odpowiadające naszemu zdarzeniu, na których będą możliwości, jakie możemy. Na gałęziach umieszczamy prawdopodobieństwo naszego zdarzania. Skoro kule zwracamy, prawdopodobieństwa na gałązkach nie zmieniają się. Następnie zaznaczymy gałęzie, które odpowiadają naszemu zdarzeniu - wylosowaliśmy co najmniej jedną białą kulę:
Prawdopodobieństwo zdarzenia będzie sumą iloczynów poszczególnych, podkreślonych gałęzi:
Proste? To teraz przejdziemy do drugiego przypadku
ZWRACANIE KULI:
Na początku rysujemy drzewko w ten sam sposób. Zmieniamy jednak prawdopodobieństwa na poszczególnych gałęzich - odejmujemy te kule, które już wylosowaliśmy. Nasze drzewko wygląda więc tak:
Prawdopodobieństwo zdarzenia będzie sumą iloczynów poszczególnych, podkreślonych gałęzi:
Permutacją nazywamy każde ustawienie wszystkich elemntów zbioru w dowolnej kolejności. Jest to więc ilość wszystkich sposobów, na jakie możemy ustawić wyrazy naszego zbioru w ciągu. Wykorzystujemy ją często do wyznaczania ilości zdarzeń elementarnych. Obliczamy ją ze wzoru:
Trybisz to? To idziemy dalej ;)
Kombinacją nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A. Z kombinacjami mamy do czynienia wtedy, gdy nie jest ważna kolejność występujących elemntów. Obliczamy ją ze wzoru:
Sprawa jest bardzo prosta. Mamy np. talię kart i zastanawiamy się na ile sposobów możemy rozdać po pięć kart. Wtedy za n podstawiamy 52 (liczba kart w tali), a za k pięć (bo tyle kart chcemy rozdać).
Mamy dwa rodzaje wariacji:
* z powtórzeniami
* bez powtórzeń.
WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI:
Wariację z powtórzeniami to liczba sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający się z kwyrazów, które mogą się powtarzać. Obliczamy ją ze wzoru:
WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ:
Wariacją bez powtórzeń nazywamy liczbę sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający się z k różnych wyrazów. Obliczamy ją ze wzoru:
